Абсолютные показатели, их значение - Часть 10

Средняя гармоническая. Получают ее при подстановке в формулу степенной средней значение к = - 1.

- И И х ~ 1 января п

Хгм "п 11 ноября

X X.

Средняя гармоническая взвешенная имеет вид:

- Еи <

х

Яквидно, средняя гармоническая представляет собой обратную величину средней арифметической из обратных величин данных чисел.

Пример.По данным о себестоимости единицы продукции и общие затраты определить среднюю гармоническую взвешенную (табл. 11).

Таблица 11

_Выходные и ^ расчетные данные__

Себестоимость единицы продукции,

Общие затраты, грн.

грн. (Х,)

X

20

4000

200

25

5000

200

30

9000

300

x

^ = 18000

* = 700

Абсолютные показатели, их значение

При расчете средней гармонической можно значительно упростить вычислительную работу, если использовать в расчетах таблицу обратных чисел.

Средняя геометрическая. Этот вид средней получаем, если в формулу степенной средней подставить значение к = 0.

-х = "ИН = 0р = (*) 0 = г-Т = 1"

VпV п п п)

Раскрытие неопределенности этого вида достигается логарифмирования обеих частей равенств 'п. Таким образом, имеем:

- 1 к 1п их "- 1п п

1п х = - (1п их - 1п и) = -

к п.

Дифференцируя по переменной к, получаем:

1ит (1п х) = ИИТ ^ х х 111 х 1п х. - 11п х - 1хИх * п 1п х = -

Потенцируя последнее выражение, находим среднюю:

Следовательно, средняя геометрическая представляет собой корень степени числа наблюдений (п) из произведения данных чисел: хьх ^ х3,. ", Хп. После логарифмирования имеем:

1 - _ИЕх + 1gх2 + ^ Х3 + ... + ^ Х-1 § х

п.

Значение х равно антилогарифму 1е х.

Таким образом, среднее геометрическое можно рассматривать как антилогарифмов средней арифметической из логарифмов данных чисел. Этот вид средней применяется при расчете среднего коэффициента роста за определенный период в рядах динамики.

Пример.По данным о численности работающих за 6 лет найти средний ежегодный коэффициент роста за период 1997-2002 гг Промежуточные расчеты приведены в таблице 12.

Таблица 12

Исходные данные и расчеты для вычисления средней геометрической

Год

Численность работающих

Коэффициент роста, к

Логарифм числового значения коэффициента роста

1997

-

-

1998

670

1,07545

0.0315

1999

728

1.08657

0,0363

2000

800

1,09891

0,0411

2001

883

1,10375

0,0429

2002

906

1.02605

0,0111

Сумма

X

X

0,1629

По данным таблицы 12 находим среднее значение из логарифмов числовых значений коэффициентов роста: lg k = 0,1629:5 = 0,0326; ant lg0, 0326 = 1,077

Таким образом, расчет среднего коэффициента роста численности работающих можно подать в такой последовательности:

lgК5/1, 075 х 1,087 х 1,099 х 1,104 х 1,026 = 0,0315 + 0,0363 + 0,0411 + 0,0429 + 0,0111 = 0,0326 _ К = ant lg0, 0326 = 1,077

Средняя квадратическая. При подстановке в формулу степенной средней k = +2 получаем среднюю квадратичную. Формула ее имеет следующий вид:

- _ ILx1_ Ixf+ X + x32 + ... +xlпри невзвешенной форме - "VnVn;

при взвешенной форме -

- YLx2ni x ^ nt+ X2n2 + x32n3 + ... +x ^ nn"° в~ Lntв n + n2 + n3 + ... + Nn

Практически средняя квадратичная величина используется в тех случаях, когда варианты ряда представлены в виде отклонений фактических их значений от средней арифметической (или от какой-то нормативной величины).

Пример.При сменной норме выработки трактора на пахоте 7 га вычислить среднюю величину отклонений фактических показателей выработки в течение рабочей недели (табл. 13).

Таблица 13

Выхо / ини и поьш, и \ иикьош лани / иля вычисления cene/ Иньоиигаа / иииатичнои

Фактические показатели выработки трактора, га (xi)

Отклонение от нормы, га (х,-хн) = М

Количество тракторов,

Пи

Расчетные величины

М 2

М 2 n

6

1

1

1

7

0

5

0

0

8

1

6

1

6

10

3

3

9

27

12

5

6

25

150

Всего

X

21

x

184

По данным таблицы 13 находим величину средней квадратической

- И их, 2 - ИИ84 г-""

х = - = - = л / 8,76 ~ 2,96

.. "В V Ип. V 21 взвешенной '.

Итак средняя величина отклонений фактических показателей выработки

трактора на пахоте от нормы выработки составляет примерно 3 га (2,96).

foto_00046.jpg