Дисперсия занимает особое место в статистическом анализе социально-экономических явлений. В отличие от других характеристик вариации благодаря своим математическим свойствам она является неотъемлемым и важным элементом других статистических методов, в частности дисперсионного анализа.
Для признаков метрической шкалы дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней:
Как и любая средняя, дисперсия имеет определенные математические свойства. Сформулируем важнейшие из них.
1. Если все значения вариант уменьшить на постоянную величину А, то дисперсия не изменится:
2. Если все значения вариант изменить в А раз, то дисперсия изменится в
раз:
3. Если частоты заменить частицами, дисперсия не изменится.
Несложными алгебраическими преобразованиями можно доказать, что дисперсия - это разница квадратов. Так,
.
Заменив , поделим все составляющие на n:
,
где - Квадрат средней величины;
- Средний квадрат значений признака.
Эквивалентность этих формул подтверждают расчеты дисперсии по данным табл. 5.12.
Таблица 5.12
Расчет дисперсии тарифного разряда рабочих
Тарифный разряд |
Число рабочих |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
-2,6 |
6,76 |
4 |
4 |
3 |
3 |
9 |
-1,6 |
7,68 |
9 |
27 |
4 |
9 |
36 |
-0,6 |
3,24 |
16 |
144 |
5 |
11 |
55 |
0,4 |
1,76 |
25 |
275 |
6 |
16 |
36 |
1,4 |
1,76 |
36 |
216 |
Вместе |
30 |
138 |
" |
31,2 |
" |
666 |
Согласно расчетам имеем:
;
;
;
;
.
Итак, обе формулы дают одинаковый результат.
Дисперсия альтернативной признаки исчисляется как произведение частей: , где
- Доля элементов совокупности, обладающих признак,
- Доля остальных элементов
.
Так, в предыдущем примере доля рабочих шестого разряда составляет , дисперсия доли
.
Дисперсия альтернативной признаки широко используется при проектировании выборочных обследований, обработке данных социологических опросов, статистическом контроле качества продукции и т.п..
Если совокупность разбита на группы по определенному признаку х, то для любого другого признака в можно вычислить дисперсию как в целом по совокупности, так и в каждой группе.
Предмет, методы и задачи современной статистики | 2018 © Все права защищены StatistFacts.ru