Дисперсия

Дисперсия занимает особое место в статистическом анализе социально-экономических явлений. В отличие от других характеристик вариации благодаря своим математическим свойствам она является неотъемлемым и важным элементом других статистических методов, в частности дисперсионного анализа.

Для признаков метрической шкалы дисперсия - это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней:

Виды и взаимосвязь дисперсийВиды и взаимосвязь дисперсий

Как и любая средняя, дисперсия имеет определенные математические свойства. Сформулируем важнейшие из них.

1. Если все значения вариант Виды и взаимосвязь дисперсий уменьшить на постоянную величину А, то дисперсия не изменится: Виды и взаимосвязь дисперсий

2. Если все значения вариант Виды и взаимосвязь дисперсийизменить в А раз, то дисперсия изменится в Виды и взаимосвязь дисперсийраз:

Виды и взаимосвязь дисперсий

3. Если частоты заменить частицами, дисперсия не изменится.

Несложными алгебраическими преобразованиями можно доказать, что дисперсия - это разница квадратов. Так,

Виды и взаимосвязь дисперсий.

Заменив Виды и взаимосвязь дисперсий, поделим все составляющие на n:

Виды и взаимосвязь дисперсий,

где Виды и взаимосвязь дисперсий- Квадрат средней величины; Виды и взаимосвязь дисперсий- Средний квадрат значений признака.

Эквивалентность этих формул подтверждают расчеты дисперсии по данным табл. 5.12.

Таблица 5.12

Расчет дисперсии тарифного разряда рабочих

Тарифный разряд

Число рабочих

Виды и взаимосвязь дисперсийВиды и взаимосвязь дисперсий

Виды и взаимосвязь дисперсий

Виды и взаимосвязь дисперсий

Виды и взаимосвязь дисперсий

Виды и взаимосвязь дисперсий

2

  1

   2

-2,6

6,76

 4

  4

3

  3

   9

-1,6

7,68

 9

 27

4

  9

 36

-0,6

3,24

16

144

5

11

 55

  0,4

1,76

25

275

6

16

 36

  1,4

1,76

36

216

Вместе

30

138

"

31,2

"

666

Согласно расчетам имеем:

Виды и взаимосвязь дисперсий;     Виды и взаимосвязь дисперсийВиды и взаимосвязь дисперсий;

Виды и взаимосвязь дисперсий;

Виды и взаимосвязь дисперсийВиды и взаимосвязь дисперсий;

Виды и взаимосвязь дисперсий.

Итак, обе формулы дают одинаковый результат.

Дисперсия альтернативной признаки исчисляется как произведение частей: Виды и взаимосвязь дисперсий, где Виды и взаимосвязь дисперсий- Доля элементов совокупности, обладающих признак, Виды и взаимосвязь дисперсий - Доля остальных элементов Виды и взаимосвязь дисперсий

Виды и взаимосвязь дисперсий.

Так, в предыдущем примере доля рабочих шестого разряда составляет Виды и взаимосвязь дисперсий, дисперсия доли Виды и взаимосвязь дисперсий.

Дисперсия альтернативной признаки широко используется при проектировании выборочных обследований, обработке данных социологических опросов, статистическом контроле качества продукции и т.п..

Если совокупность разбита на группы по определенному признаку х, то для любого другого признака в можно вычислить дисперсию как в целом по совокупности, так и в каждой группе.

foto_00006.jpg