Характеристика асимметрии и эксцесса - Часть 9

Если принять, что выборочная средняя (~) и выборочная дисперсия

(Ств) являются оценками соответствующих генеральных характеристик (^), то есть их математическим ожиданием, учитываем, что при большом количестве

единиц выборки названные характеристики (~) будут приближены к их математических ожиданий. Если же число единиц выборки небольшой, эти характеристики могут значительно отличаться от соответствующих математических ожиданий.

Если среднее значение выборочных характеристик, выбранных в качестве оценки, соответствует значению генеральной характеристики, оценка называется несмещенной. Доказательством того, что математическое ожидание выборочной средней равна генеральной средней (м (х) = х), свидетельствует о том, что величина ~ является несмещенной генеральной

_2

средней. Иначе обстоит дело с избирательной дисперсией (o). ее

_ М (СТ2) = - о 2. .

математическое ожидание п, не равна генеральной

22

дисперсии. Итак, эко является смещенной оценкой а '. Чтобы устранить систематическую ошибку и получить несмещенную оценку, выборочную

п

дисперсию умножают на поправку п 1 (это следует из образования

ст2 _ 2 пп -1"П -1

приведенного выше уравнения п).

Таким образом, при немногочисленной выборке дисперсия равна:

2 Цх, - ~) 2пЕ (хи -~) 2

СГВ=-Х-= -.

п п -1 п -1

п

Дробь (п-1) Называют поправкой Бесселя. Математик Бесселя первого установил, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии и применил указанную поправку для корректировки

п

оценок. Для малых выборок поправка (п -1) значительно отличается от 1. С увеличением числа единиц наблюдения она быстро приближается к 1. При п <> 50 разница между оценками исчезает, т.е.

_2 __ 2

° ~ '-. С всего вышесказанного вытекают следующие определения требований несмещенности.

Несмещеннойназывают статистическую оценку, математическое ожидание которой при любом объеме выборки равна значению

параметра генеральной совокупности, т.е. м (^) = 9; м (х) = х.

Категорию "математическое ожидание" изучают в курсе теории вероятностей. Это числовая характеристика случайной величины.

foto_00003.jpg