Основы теории вероятностей - Часть 4

Рассмотрим основные операции над событиями с точки зрения теории.

Пример 3.1. Задан пространство элементарных событий (множество В) как совокупность натуральных чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. В результате испытаний зафиксирован ряд событий. События А, В, С, В и ¥ как подмножества множества О включали следующие элементы: Л = {2,3}, В = {2,3,4,5}, С = {3,4,5,6}, В = {6,7,8,9} и ¥ = {2,3,4,5}. Выяснить свойства основных операции алгебры событий.

Решение:

а) по условиям примера все элементы подмножества Б = {2,3,4,5} принадлежат множеству ^ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. По аналогии с операций над множествами это значит, что и соответствующее событие бы принадлежит к пространству событий О, есть бы < е в. (Рис. 3.1а);

б) все элементы подмножества ^ 4 = {2,3} принадлежат к подмножеству Б = {2,3,4,5}, поэтому в случае появления события а происходить и событие Б. В этой ситуации можно утверждать, что в случае осуществления событие а вызывает появление события Б. Такую операцию называют "Следования" и записывают как а с б (рис. 3.16);

в) подмножества ¥ и бы состоят из одинаковых элементов: Б = {2,3,4,5} и ¥ = {2,3,4,5}. Это значит, что событие бы всегда вызывает появление события ¥, т.е. бы с ¥ . В свою очередь событие ¥ вызывает появление события Б, т.е. ¥ с бы . Итак, события ¥ и бы эквивалентны. эквивалентность событий записывают как ¥ = Б (рис. 3.1в);

г) событие В, которая происходит, когда не происходит событие В, называется противоположным событию В. Противоположность события В определяется как дополнение подмножества Б, т.е. бы = О В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2,3,4,5} = {1, 6, 7, 8, 9}. Отсюда В = {1, 6, 7, 8, 9} (закрашена площадь на рис. 3.1г)

г) произведение В-С событий В и С - это событие, заключающееся в совместном появлении и события В, и события С. Произведение событий определяется пересечением соответствующих множеств В и С: БП С = {2,3,4,5} Г | {5,6,7,8} = {5}. Произведение событий В-С имеет место, когда некоторые подмножества элементарных событий относятся как множестве В, так и множестве С (рис. 3.1г). В примере общей подмножеством является элементарное событие й = {5};

foto_00043.jpg