Основы теории вероятностей - Часть 5

д) сумма В + С событий В и С - это событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из событий или В, или С. Сумма событий определяется операцией объединения соответствующих множеств В и С: Б и С = {2,3,4,5} и {5,6,7,8} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }. Таким образом, сумма событий В + С имеет место, когда происходит хотя бы одна какая-то элементарное событие й из подмножества {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (см. рис. 3.1д)

Произведение событий В-С и сумма событий В + С, определенных выше аналогии операций теории множеств (рис. 3.1 г, д), имеют место для так называемых совместных событий B и C, которые могут происходить одновременно. Однако события, которые в результате испытаний не могут произойти одновременно, является несовместимыми. Операции произведения несовместимых событий BD и суммы этих событий B + D продемонстрировано на рис. 3.1е, есть;

е) по условиям примера произведение несовместных событий BD определяется пересечением соответствующих множеств В и D: B Г | D = {2,3,4,5} Г | {6,7,8,9} = {} = 0. В результате получим так называемую пустую подмножество 0, которой соответствует невозможное событие. Как видно из рис. 3.1е, опилок В и D не имеют общих элементов - они несовместимы. Итак произведение несовместных событий В-С есть невозможной событием;

есть) сумма В +D несовместных событий В и D определяется объединением соответствующих множеств В и D: BUD = {2,3,4,5} ЭТИ {6,7,8,9} = {2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}. Сумма несовместимых событий включает все элементарные события каждого отдельного события (рис. 3.1 е).

Таким образом, операции над событиями можно рассматривать как операции над соответствующими подмножествами. Алгебра событий изоморфно отображается на алгебре множеств. Однако в теории вероятностей для обозначения собственных понятий используются свои термины, несколько отличаются от сроков теории. Соответствие между терминологическими рядами этих двух математических дисциплин можно представить с помощью табл. 3.1.

Таблица 3.1

Соответствие сроков теории вероятностей и теории множеств

Теория вероятностей

Теория множеств

Пространство элементарных событий

Множество

Элементарная событие

Элемент этого множества

Событие

Подмножество

Достоверное событие

Подмножество, совпадающее с множеством

Невозможное событие

Пустая подмножество 0

Событие, противоположная В

Дополнение В, подмножество В

Сумма А + В событий А и В

Объединение А [] В подмножеств А и В

Произведение А ^ В событий А и В

Сечение А П В подмножеств А и В

События А и В несовместимы

Сечение А Г | В = 0, пустая подмножество

События А и В совместимы

Сечение А Г | В ф 0, опилки не пустая

Вероятность событий

Случайное событие можно предсказать лишь с некоторой вероятностью.

Вероятность события - это численная мера объективной возможности этого события (интуитивное определение вероятности). Вероятность события А сказывается Р (А). Если осуществлять различные испытания, то можно констатировать, что различные случайные события могут иметь различную возможность появления.

Вероятность невозможного  события и равна нулю, Р (Ц) = 0.

Вероятность достоверного  события V равен единице, Р (В) = 1.

Следовательно, вероятность Р (А) любой случайного события А находится между нулем и единицей: 0 <Р (А) <1.

Иногда события можно считать равновозможными, если по условиям испытаний отсутствуют основания считать некоторые из них более возможными, чем любые другие. Если несколько событий: 1) образуют полную группу, 2) несовместимы, 3) ре-вноможливи, то они называются "Случаи".

Классическая вероятность  события А - это число Р (А), к которому приближается отношение количества появлень желаемой события А к общему количеству возможных событий выборочного пространства при увеличении независимо выполненных испытаний:

_ Количество _ Появлень _ желаемой _ события _ А

Р ( А ) = :: Ттт-. (3.1)

общая _ Количество _ возможных _ событий

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется как относительная частота совершения события А :

Р ( А) = т , (3.2)

п

где т - количество появлень желаемых случаев или благоприятных событий; п - общее количество случаев.

foto_00004.jpg