Основы теории вероятностей - Часть 11

9

общего количества студентов (24) равна Р (В2 | В1) = 9-15 = 0,375.

Отсюда вероятность Р (А) события А составит

Р (А) = Р (В1 ■ В2) = Р (В1) o Р (В2 | В1) = 0,4 o 0,375 = 0,15 = 15%.

Ответ: вероятность выбора наугад двух студентов-девушек составляет 15%.

Формула полной вероятности

Предположим, что пространство событий (множество £ 2) состоит из п попарно несовместимых событий - подмножеств Н1, Н2, Н3, ..., Нп (См. рис. 3.4).

Основы теории вероятностей

Рис. 3.4. Пространство событий {Н1, Н2, ..., Нп } Является £ 2

Из рис. 3.4 видно, что событие А можно представить как сумму произведений события А и каждого из событий Н1, Н2, ..., Нп (сумма сечений подмножеств А с подмножествами Я):

А = А-Их + А-Иг + ... + А-Ип = £ А Я, ..

Вероятность события А (по теореме сложения вероятностей) определится

Р (А) = £ Р (А ■ Я,.).

Вероятность события А (по теореме умножения вероятностей) определится:

Р (А) =ИР ( А | Ни ) O Р (Н,). (3.7)

¿= 1

Выражение (3.7) является формулой полной вероятности Р (А) события А, если событие А зависит от системы событий. События Н1, Н2, ..., Нпприйнято называть гипотезами, по которым может произойти событие А.

Пример 3.5. В трех группах студентов (численностью 28, 20 и 25 человек) отличники составляют 7, 2 и 5 студентов соответственно. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент является отличником?

Решение: Пространство событий (множество А.) состоит из 3-х попарно несовместимых событий - подмножеств Н1, Н2, Н3 (см. рис. 3.5). Событие А - это результат испытания - выбора наугад студента-отличника с вероятностью Р (А).

Основы теории вероятностей

Рис. 3.5. Пространство событий {Н1, Н2, Н3} является £ 2

Вероятность Р (А) рассчитывается по формуле полной вероятности (n = 3):

Р (А) = £ Р (А | H [) o Р (Я,) = Р (А | o РЯ1) + Р (А | Я2) o Р (Н2) + Р (А | Я3) o Р (Н ,).

¿= 1

Вероятность гипотезы Я1 (события о том, что отличник выбран из 1-й группы):

Р (Я1) = -28 - = ^ "0,38.

28 + 20 + 25 73

Вероятность гипотезы Я2 (события о том, что отличник выбран из 2-й группы):

Р (Я2) = --- 2 ---- = -2-0. 0,27. 28 + 20 + 25 73

Вероятность гипотезы Н3 (события о том, что отличник выбран из 3-игрупы):

foto_00028.jpg