Основы теории вероятностей - Часть 13

Согласно теореме умножения:

- условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен отлично, равна Р (АН1) = (20/20) - (19/19) = 1;

- условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен хорошо, равна Д ^ Яг) = (16/20) - (15/19) ~ 0,63;

- условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен удовлетворительно, равна Р (АЩз) = (10/20) (9/19) ~ 0,24;

- условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен плохо, равна Р ^ НЛ = (5/20) - (4/19) ~ 0,053.

По формуле полной вероятности Р (А) рассчитывается как:

Р (А) = Р (А | Я ^ ■ Р (Н1) + Р (А | Я2) o РЩ2) + Р (А Щ3) ■ РЩ,) + Р (А | Я4) o РЩЛ)

или

Р (А) = 1-0,3 +0,63-0,4 +0,24-0,2 +0,053-0,1 = 0,605 = 60,5%. Ответ: вероятность Р (А) события А о том, что вызванный наугад студент ответит на два заданных вопроса, составляет примерно 0,605 или 60,5%.

Формула Байеса

Формула полной вероятности позволяет рассчитать вероятность Р (А) события А, если она зависит от системы событий-гипотез Н1, Н2, ..., Нп, по условным вероятностям которых Р (А | Р ( а | н2) "., Р ( а | Нп) может произойти это событие А. Однако важной задачей математики являются расчеты условной вероятности Р (н, | а) гипотезы нет, если известно, что в испытании событие А уже произошло. Согласно теореме умножения вероятностей можно записать Р (н - А) = Р (Щ - Р (А | нет) = Р (А) - Р (н, | Л).

Отсюда

Рини) = р (н 1) oР (А | Я 1). (3.8)

1 Р (А)

Если знаменатель Р (А) заменить формуле полной вероятности (3.7), получимформулу Байеса:

Р (Я, | А) = пр (Д 1) oР (АьЯи), (3.9)

Е Р (Н,) o Р (А | Нет)

1 = 1

где Н1, н2, ..., нп - попарно несовместные события, образующих полную группу.

Формула Байеса позволяет подсчитать "апостериорные" 10 вероятности р (ни | А) с помощью "априорных" 11ймовирностей Р (н) "Гипотез" Я, -.

Пример 3.7. По условиям примера 3.6 вызван наугад студент ответил на три заданных вопроса. Какова вероятность того, что этот студент является: а) отлично подготовлен б) подготовлен плохо?

Решение: Выдвигаем четыре гипотезы о вероятности появления (в результате вызова наугад) того или иного студента с определенной подготовкой:

foto_00034.jpg