Основы теории вероятностей - Часть 15

Перестановкой с т различных элементов называют такой объект, который состоит из этих самых т элементов. Количество Рт таких объектов-перестановок, которые отличаются друг от друга только местом расположения своих элементов, рассчитывается по формуле:

Рт = т!, (3.10)

где т! = 1-2-3 - ...-т - факториал числа т (однако 0! = 1). Например, для трех объектов а, Ь, с (т = 3) количество перестановок равно 3! = 1-2-3 = 6, а именно такие перестановки:

а Ь с ; а с Ь ; Ь а с ; Ь с а ; с а Ь ; с Ь аРазмещением  с п элементов по т называют такой объект, который состоит из т элементов, выбранных из п элементов. Причем размещение одинаковых элементов, но с разными местами их расположения, считаются различными. Количество объектов-размещений Апт рассчитывается по формуле:

п

Атп = п (п - 1) (п - 2) ... (п - т +1) или Ат = - --:. (3.11)

п (П - т)! '

Например, для трех объектов а, Ь, с (п = 3) количество размещений по два объекта (т = 2) будет равна А32 = 3 o 2 = 6, а именно такие размещения: а Ь ; Ь а ; а с ; с а ; Ь с ; с Ь.

Комбинацией  с п элементов по т называют такой объект, который состоит из т элементов, выбранных из п элементов. Однако объекты-комбинации отличаются между собой хотя бы одним элементом. Количество таких объектов СПТ рассчитывается по формуле:

В. = ~ Г < -^ Аб ° С п ~ -и-. (3.12)

т! (п - т)! т!

Например, для трех объектов а, Ь, с (п = 3) количество комбинаций по два объекта (т = 2) будет равна:

С 3 ~ 2! (3 - 2)! ~ 1 o 2 o 1 ~ 3, а СаМ £: ° ° '° °' ° °. Следовательно, значение СПТ (количество комбинаций с п элементов по т) меньше Апт (Количество размещений с п элементов по т) в Рт раз, то есть между понятиями комбинаторики существует соотношение:

С п = Р г o (с-з)

Пример 3.8. Какова вероятность того, что в испытании со случайным вытягиванием шести карточек-букв "Е", "П", "Р" и т.д. можно составить наугад слово "ПРОЦЕСС"?

Решение: Испытание заключается в вытягивании в случайной последовательности карточек с буквами без возврата. Событие А получения слова "ПРОЦЕСС" является элементарным событием среди перестановок из 6 букв.

foto_00024.jpg