Показатели выборки - Часть 8

оценить эксцесс

т4 = £ (х - X) 4 /. Коэффициент эксцесса Эх определяется через 4-й центральный момент т4 :

-3 - [ 5 (х;-Х) 3Л]-3-Ех (2.19)

Между центральными и начальными моментами существует связь: т! = 0;

что вытекает из преобразований:

п п п п

т2 = £ (X "X) 2 / = е (* 2" 2х, х + X v, = £ х2У)-е (2х, Х-X2) / i = и = и и = и и = и и = и

= Уг -х (х, х + х ~ Х-X2) / и = Уг-Х% /-Х £ (х,-X) /; ^ 2 - ^ -0 = уг-V2

i = 1 i = 1 i = 1

п п

Итак, если т2 = v2 = е х и ' й; ,vl = е х; ' й; , то можно получить еще одно соотношение, которое используется для расчета дисперсии:

п (п 2

i = 1 v i = 1)

Центральные моменты 3-го и 4-го порядка тоже можно записать с помощью начальных моментов:

т3 = v3 - 3 ^ 2 + 2v3, (2.20)

т4 = v4 - 4 ^ 3 + 6v12v2 - 3v4 и т.д.

Практика статистических исследований ограничивается, как правило, использованием моментов до 4-го порядка.

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., например, раздел 4 "Методы статистического оценивания").

Квантили

Квантиль называется значение ранжированы переменной, отделяет от вариационного ряда определенную долю объема совокупности. Квантиль - общее понятие. В математической статистике используются следующие квантили:

- процентили (Р1, Р2, ..., Р99);

- дециле (П1, П2, ... ,

- квинтили (К1, К2, К3, К4);

- квартале 62, 6 с).

Наиболее распространенными являются процентили (персентили) и квартили.

Процентили  делят упорядоченную совокупность на сто частей, то есть отделяют от совокупности по 0,01 части (по 1%).

Квартили  делят совокупность на четыре части. Первый квартиль £) 1 отделяет слева 0,25 объема совокупности. Второй квартиль £) 2 делит совокупность на две равные по объему части (по 0,5), он называется медианой. Наконец, третий квартиль £) 3 отделяет слева 0,75 объема совокупности.

Между различными квантили существуют определенные соотношения, например, между квартили и процентили такие: Р25, <22 = Р50, <23 = Р75. Поэтому достаточно знать только процедуру поиска, например, процентилей, чтобы определить любые необходимые квантили.

foto_00040.jpg