Случайные величины - Часть 3

Распределение случайной величины показывает вероятность для переменной X, значение которой не превышает х , т.е. Р (Х <х ^. Каждое значение распределения суммой вероятностей рьи всех предыдущих элементарных значений х, и

переменной X, т.е. ре = ^ рьИ . Например, для i = 4 значения вероятность р4

i = 1

4

Случайные величины

Аналогично может быть представлено и плотность распределения Дх). Для дискретной переменной распределение и плотность распределения связаны соотношением:

Р ( хи ) = ± / (х,) (3.17)

i = 1

Для непрерывного переменной можно записать следующие соотношения:

- плотность распределения Дх) = Р '(х). Это значит, что плотность Дх) является первой производной от функции распределения Р (х);

- плотность распределения для любой случайной величины неотъемлемая, т.е. Лх)> 0, и имеет такое свойство:

составлять р4 р '. = 0,00 + 0,05 + 0,10 + 0,20 = 0,35 (см. ячейку Е6 рис. 3.6).

¡= 1

Вероятность получения в испытании любого значения из полной системы случайных значений (фактически, это вероятность достоверного события) равна

п

единицы. И действительно, для i = п вероятность рп = ^ г] = 1 (см. ячейку Е9 рис. 3.6

i = 1

или последнее значение вероятности распределения на графике рис. 3.7).

Законом распределения случайной величины является соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан функциями:

- функцией распределения Р (х)

Р (х) = Р (Х < х), (3.15)

- функцией плотности розподилуДх)

Дх) = Р (Х = Х). (3.16)

Для дискретной переменной функция распределения Р (х) может быть представлена в аналитической форме. Так, по данным рис. 3.8 функция Р (х) будет иметь вид:

Случайные величины

Математический анализ предоставляет геометрическую интерпретацию определенных интегралов (3.18) как площади (см. окрашенную площадь на рис. 3.10), которая сверху ограничена графиком функции / (х), а снизу - осью абсцисс в пределах-й < х < +со. Размер площади за интегралом (3.18) равен единице.

Значение функции распределения ¥ (х) для определенного значения х (например, х = а) определяется через плотность распределения / (Х) по формуле:

foto_00030.jpg