Случайные величины - Часть 9

В свою очередь, зная только характер статистических законов, распределение может быть успешно восстановлены по своим многочисленными характеристиками, например, по средним значениям, дисперсией. Поэтому целесообразно рассмотреть основные характеристики случайной величины X, позволяющие численно оценить так называемые показатели "центральной тенденции" (математическое ожидание M [X], моду Mo [X] и медиану Md [X), а также "вариативности" (дисперсия D [X], стандартное отклонение 5D [X]).

Математическое ожидание

Одной из важных характеристик распределения случайной величины X является ее математическое ожидание M [X] (Иногда его называют среднее значение случайной величины).

Определение. математическое ожидание случайной величины является число

M [ X ] = Х X (a) o P (a), (3.21)

weq

где Х (й) - значение случайной величины X, полученное в событии й, Р (ю)-вероятность случайного события й; Q - пространство элементарных событий Юе £ 1

Пример 3.13. Вычислить математическое ожидание числа, выпадающего на верхней грани игрового кубика.

Решение:

Пространство Q состоит из 6 элементарных событий (Ю1, Ю2, Ю6}. Каждой элементарной событию соответствует значение случайной величины. Для игрового кубика это число от 1 до 6 на его гранях: X (ro1) = 1, X (ro2) = 2, .. . X (co6) = 6. Все события имеют равные вероятности произойти Р (ю {) = Р (Ю2) = ... Р (Ю6) = 1/6.

Отсюда математическое ожидание случайной величины равно:

M [ X ] = X X (Ю) o P (o) = 1 - + 2 o - + 3 o - + 4 o - + 5 o - + 6 o - = 21 = 3,5.

oieQ 6 6 6 6 6 6 6

Ответ: математическое сподиванняA / [X7] = 3,5.

Математическое ожидание простой случайной величины X с множеством значений {X1, x2, xn} определяется как

M [ X ] = Их,. o Р (Х = х,.). (3.22)

Смысл математического ожидания следует раскрыть на примере.

Пример 3.14. Среднее количество выполненных тестовых заданий, приходящееся на одного студента, может определенным образом характеризовать качество обучения. Это можно принять, если предположить, что отдельные значения случайной переменной x группируются около этого среднего показателя.

foto_00028.jpg