Случайные величины - Часть 10

В табл. рис. 3.20 приведены данные испытаний: хи - возможное количество выполненных заданий из пяти предложенных; т- - соответствующее исполнения = т ). Необходимо рассчитать математическое ожидание как ориентировочный показатель знаний студентов или качества обучения. Решение:

- В столбце В (рис. 3.20) для каждого значения хи рассчитать относительные частоты Ли = Т / т, приняв их за статистические вероятности Р; (X = Х ^. Такое предположение справедливо при большом числе испытаний.

- В столбце Е (рис. 3. 20) рассчитать взвешенные значения хи Л

- Построить график распределения выполнения тестовых заданий (рис. 3.21).

Случайные величины

- Рассчитать математическое ожидание:

М [X ] = £ х,. o / (х,.) = 0o 0,02 +1-0,04 +2 o 0,06 +3-0,12 +4 o 0,32 +5 o 0,44 = 4,00.

Ответ: среднее значение количества выполненных задач, добытое по результатам экзаменов, близкий к математическому ожиданию М [Х] = 4,00 и может служить ориентировочным показателем качества обучения.

Для непрерывного случайной величины X, если функция распределения р (х) абсолютно непрерывна и неотъемлемая, функция / (Х) плотности распределения такова, что

р (х) = | / (Х) Ох. (3.23)

-стр.

Тогда математическим ожиданием называется число

+стр.

М [X ] = Х Л (х) сих . (3.24)

-стр.

Пример 3.15. Рассчитать математическое ожидание непрерывного случайной величины X с равномерным распределением вероятности на отрезке [а, Ь]. Решение:

На рис. 3.22. изображен график равномерного распределения X на отрезке [а, Ь].

Случайные величины

Математическое ожидание M [X] рассчитывается как выдающийся интеграл на отрезке от-же до + со, а именно

М [ X ] = | Х o Л (Х) Вост.

-стр.

Плотность равномерного распределения Л (х) на отрезке [-о, + со] можно определить на трех отдельных участках значений аргумента х:

Случайные величины

Ответ: в общем виде математическое ожидание М [ X ] = Ь ~ 2 ~ . Для

конкретных значений отрезке [а, Ь], например, а = 2 и Ь = 4, математическое дне -4 + 2

ния М [ X ] = -2 - = 3. На рис. 3.23. изображен график равномерного распределения

случайной величины X на отрезке [2, 4] и отмечено положение MX = 3.

foto_00052.jpg