Случайные величины - Часть 14

Определение. Начальным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

~k = M [ Xk ] .15 (3.34)

Определение. Центральным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины x от его математического ожидания:

m = m [x - M (X) Y , (3.35)

или mk = M [X - a] k , где a = M [X].

Для обозначения мометнив случайных величин используем те же буквы, что и для мометнив вариационного ряда, но с дополнительным знаком ~ ("тильда").

Формулы для вычисления моментов дискретных (принимающих значения Х и с вероятностью р,) и непрерывных (с плотностью вероятности / х)) случайных

величин приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Формулы для вычисления моментов случайных величин

Случайные величины

Как и для вариационных строк моменты дискретных случайных величин имеют аналогичный смысл:

Первый начальный момент (¿= 1) случайной величины Хе ее математическим ожиданием:

~ 1 = М [Х] = с. (3.36)

Второй центральный момент (¿= 2) определяет дисперсию 0 [Х] случайной величины x:

Шг (Хи - а) 2 ре = ЦХ] = (Т2. (3.37)

Третий центральный момент (¿= 3) характеризует асимметрию распределения случайной величины x:

п

Коэффициент асимметрии а распределения случайной величины x имеет вид:

-Г = ~ X (хи "а) 3Р и = А. (3.38)

Четвертый центральный момент (¿= 4) характеризует крутизну распределения случайной величины.

Случайные величины

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., например, разделы 4 и 5).

Как отмечалось выше, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первый - имеет отношение к практике (это показатели выборки), второй - базируется на теории (это показатели вероятностной модели). Соотношение этих показателей представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Соотношение показателей эмпирической выборки и вероятностной модели

Случайные величины

Таблица 3.5 продолжение

Случайные величины

Итак, целью описательной статистики является превращение совокупности выборочных эмпирических данных на систему показателей - так называемых статистик, имеющих отношение к реально существующих объектов.

foto_00018.jpg