Статистическое оценивание - Часть 6

Пирсоном) определенное количество выборочных моментов (начальных vk или центральных mk, или тех и других) приравнивают к соответствующим теоретических моментов (~ k или щ) распределения случайной величины X. Напомним, что выборочные моменты определяются по формулам (2.13 - 2.20), а соответствующие теоретические моменты - по формулам (3.14 - 3.39). Итак, оценки неизвестных параметров является решением системы уравнений. Количество уравнений определяется количеством параметров, подлежащих оценке.

Пример 4.1. Определить точечные оценки случайной величины X, что нормальное распределение, по методу моментов.

Решение:

Плотность нормального распределения случайной величины X имеет вид

f (x; fi, a ) = Exp <! --- С двумя неизвестными параметрами: сред-

л / 2 я-СГ2 И 2 ° J

нем ил = M [X] = v1 (3.36) и дисперсией о2 = D [X] = m2 (3.37), которые являются первым

начальным и вторым центральным теоретическими моментами.

Соответствующие выборочные моменты имеют вид: v1 = - Еxi и m2 = v2 - vx2 .

n i = 1

Отсюда определяется система из двух уравнений:

1 "

пиГ1

Решение системы уравнений дает оценки среднего juMM и дисперсии сгмм по методу моментов

Ь = 2 (4.7)

= С

Как видим, точечными оценками среднего и дисперсии случайной величины x, что нормальное распределение, являются выборочные среднее X и дисперсия с2.

Оценка по методу моментов состоятелен, сравнительно простым в расчетах, но по показателю эффективности не "лучшим". Основным методом получения оценок параметров генеральной совокупности считается метод максимального правдоподобия, предложенный Р.Фишер.

Метод максимального правдоподобия

Основу метода составляет функция правдоподобия Ь (х; ©), выражающая вероятность совместного появления результатов выборки хь х2, хп:

ц х1, х2, -, Хп; ®) = ф (Х1, @) -ф (Х2, &) ■ ■ ■ ■ ? (Хп, ©).

Согласно метод максимального правдоподобия за оценку неизвестного параметра © принимается такое значение ® п, которое максимизирует функцию ц (х, 0) 20.

Пример 4.2. Определить точечные оценки параметров случайной величины x, что нормальное распределение, по методу максимального правдоподобия. Решение:

foto_00065.jpg