Статистическое оценивание - Часть 7

Плотность нормального распределения случайной величины x определяется

Статистическое оценивание

и имеет два параметра: среднее ц и дисперсию а2, которые следует оценить. Функция правдоподобия имеет вид

Статистическое оценивание

После логарифмирования подержим

20 См.., Например, Н.Кремер [41, С. 303-305].

ТИ 1 п

1п Ь = - (1п а2 +111 (2 *)) --- X ( хи - / а) 2 . (4.10) 2 2сг, = 1

Для нахождения параметров ц и а2 частные производные по этим параметрам

необходимо приравнять нулю и решить соответствующую систему уравнений:

--= - Ей (Хи = 0

'А ш ь 1 л () 2 п 0 (4.11)

Из первого уравнения (для (72> 0) получим

п п п п 1 п,

X (х, = Эх, = Эх, "п <" = 0, откуда М = - 2 ^ х,, то есть

¿= 1 ¿= 1 ¿= 1 ¿= 1 п и = 1

й ™ = (4.12)

Из второго уравнения после сокращения (для о2> 0) и подстановки получим

-X ( х - X ) 2 - П = 0, откуда а2 = ~ 2 И (х, ~ Х) 2, т.е.

= ^ (4.13)

Таким образом, оценками по методу максимального правдоподобия математического ожидания / йямп и дисперсии случайной величины x, что

нормальное распределение, являются соответственно выборочное среднее x и выборочная дисперсия ^ 2. Оценки по методу моментов и методом максимального правдоподобия для среднего и дисперсии совпадают, но только для случайной величины x, что нормальный распределение.

Оценки максимального правдоподобия, как правило, способны и асимптотически эффективными. Основной недостаток этого метода связан с трудностями расчета оценок, а также и то, что для построения оценок и обеспечения их "лучшими" свойствами необходимо знать закон распределения случайной величины, во многих случаях оказывается практически нереальным.

Метод наименьших квадратов

В основе применения метода наименьших квадратов положено условие минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных от тех, что определяются оценкой.

Пример 4.3. Определить оценку генерального среднего / Ймнк случайной величины xза методом наименьших квадратов. Решение:

Согласно условию минимизации можно записать

n

u = £ (x, - ее) 1 = min. (4.14)

Для определения экстремума первую производную функции u следует приравнять нулю

foto_00059.jpg