Теоретические распределения случайных величин - Часть 1

Содержание классических законов больших чисел состоит в том, что выборочное среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин приближается (сходится) к математическому ожиданию этих величин. Иными словами, выборочные средние сходятся к теоретическому среднего.

Биномиальное распределение

Большинство задач теории вероятностей предполагают известными изначально вероятности элементарных случайных событий (например, все вероятности составляют по 0,5). Опираясь на знание этих вероятностей, рассчитывают вероятностные характеристики сложных событий.

Например, каждый экзамен одного студента (каждое событие Г) состоит из шести элементарных событий а> - (результатов выполнения заданий), т.е. 1 = {Ю1, Ю2, Юп) где п = 6. Каждая элементарная событие а>, - имеет лишь два следствия: прямой (желателен) - "выполнено" (или "1") и противоположный (нежелателен) - "не выполнено" (или "0"). Рассмотрим вариант так называемого "безразличного" студента, который пытается сдать экзамен, отвечая наугад на задание. Тогда можно принять, что элементарные события будут иметь одинаковые вероятности: /? (1) = /> (0) = 1/2 = 0,5. Для упрощения математического изложения вероятность желаемой элементарного события обозначим как р, есть р (1) = г. Тогда:

р (1) = р = 0,5;

р (0) = 1-/Х1) == 1 - 0,5 = 0,5.

Количество желаемых элементарных событий (выполненных заданий) т может колебаться от 0 (ни выполненного задания) до 6 (все задания экзамена выполнено). Рассчитаем вероятность того, что в сложной события / с п элементарных событий а> и можно получить т "желаемых" последствий с вероятностью р и, разумеется, п-т "Нежелательных" последствий с вероятностью

Общая вероятность одной такой сложной события / равна произведению вероятностей независимых элементарных событий и вычисляется как: pm ■ (1 - p) "-m .

Однако количество вариантов сложных событий / с n элементов по m определяется количеством комбинаций: C'm = - .

n m! (n - m)!

Поэтому окончательно общую вероятность наблюдения сложного события / можно рассчитать по формуле Бернулли:

foto_00040.jpg