Теоретические распределения случайных величин - Часть 6

Предлагаем проанализировать сходство и различие этих распределений плотности.

Теоретические распределения случайных величин

Рис. 3.45. Семья графиков плотности нормального распределения Популярность нормального распределения обоснованно выводами центральной предельной теоремы, поскольку в природе, а, педагогической сферах и ситуациях много случайных величин являются суммами нескольких случайных факторов. Среди семейства нормальных распределений особое место занимает распределение, которое имеет нулевое среднее fi = 0 и единичное стандартное отклонение а = 1

f (Z) = ^ Lexp {- I (3.59)

График соответствующего распределения называется стандартным нормальным распределением. Значение и функции щильностиf z), распределения Ф (г) можно получить с помощью или специальных таблиць18 или компьютерных программ, в частности, функций MS Excel = НОРМРАСП () и = НОРМСТРАСП () (см. рис. 3.46).

Стандартном нормальном распределению присущи следующие свойства:

- площадь, имеет смысл вероятности под графиком плотности равна 1;

- кривая графика не пересекает ось z хотя и приближается к ней по мере того, как z становится более трех, но никогда ее не касается;

- высшая точка кривой плотности распределения 0,3989 расположена над нулевым значением z;

18 Болыпев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1965 (1-е изд.), 1968 (второе изд.), 1983 (3-е изд.).

Теоретические распределения случайных величин

Рис. 3.46. Значение и графики стандартного нормального распределения

- стандартная нормальная кривая всегда будет симметричной относительно вертикали, проведенной через и = 0, ее асимметрия и эксцесс равны нулю;

- всякую другую нормальную кривую можно совместить со стандартной с помощью операции нормализации (Переход от переменной х к и см.. Раздел 2.2)

и, = ^ ~ , (3.60)

- если случайные величины X 1 и Х 2 имеют функции нормального распределения И (р1; си) и N (^ 2, (72) соответственно, то случайная величина (X 1 + Х2) имеет нормальное распределение N (/ ^ + ^ 2; д/ег2 + <т2)

- если случайные величины Х1, Х2, Хп независимы и имеют один тот

_ Х + Х + Х

же распределение N (м: о), то их среднее арифметическое Х = - 1 - 2 ----

foto_00044.jpg