Теоретические распределения случайных величин - Часть 9

Кроме того, с помощью нормального закона определяются широко распространены в математической статистике распределения х2 (хи-квадрат), и Стьюдента и Б Фишера.

Распределение / 2 (Хи-квадрат)  - это распределение случайной величины

X = X2 + X22 + ... + Xn2, (3.61)

где случайные величины X1, X2, Xn независимы и имеют тот же стандартное нормальное распределение N (0,1). Количество слагаемых п называется "числом степеней свободы" распределения хи-квадрат.

Распределение  и Стьюдента - это распределение случайной величины

т =% (3.62)

где случайные величины и и X независимы, и имеет стандартное нормальное распределение N (0,1), а X - распределение хи-квадрат с п степенями свободы. При этом п называется "числом степеней свободы" распределения Стьюдента.

Распределение  Б Фишера - это распределение случайной величины

бы = к -, (3.63)

где случайные величины Х1 и Х2 - независимые и имеют распределения хи-квадрат с числом степеней свободы к1 и к2 соответственно.

Итак, распределения х2 (хи-квадрат), й Стьюдента и Б Фишера являются производными от нормального закона. Рассмотрим свойства этих распределений подробнее.

Распределение / 2  "Хи-квадрат"  можно получить по схеме повторных испытаний, если из генеральной совокупности нормально распределенных значений с нулевым средним (м = 0) и единичным стандартным отклонением (в = 1) случайным образом изымать независимо п значений X1, X2, Xn, а затем рассчитывать сумму их квадратов (X1) 2 + (X2) 2 + ". + (X,,) 2. В результате многократных испытаний значения этих сумм будут иметь распределение Хп2 (хи-квадрат) с п степенями свободы. Аналитическая форма записи плотности распределения Хп2 имеет вид:

^ Хп) = п 1 / п х21 oе (3.64)

где / у2 (х, п) - функция плотности распределения х2; п - число степеней свободы Г () - гамма-функция, которая удобно рассчитывается в Excel с помощью выражения = EXP (rAMMAbMOr ()). Функция f х2 (x, и)> 0 для x> 0 и f х2 (x, и) = 0 для x <0.

На рис. 3.49. показано расчеты значений и графики плотности распределения ^ 2 для трех степеней свободы (2, 3 и 5).

Теоретические распределения случайных величин

foto_00001.jpg