Теоретические распределения случайных величин - Часть 10

Рис. 3.49. Расчеты и графики плотности распределения%

Для расчета распределения х 3 числом степеней свободы, например, п = 2 необходимо внести:

- в ячейку В2 выражение = 1ИЕХР (ГАММАНЛОГ (Б $ 1и2));

- в ячейку В3 выражение = Б2И2Л (Б $ 1и2);

- в ячейку В5 выражение = Б $ 3 * $ А5Л (Б $ 1и2-1) * ЕХР (- $ А5И2)

- в ячейки В6: В15 - аналогичные выражения.

В столбцах С и Б рассчитано значение распределения х для числа степеней свободы n = 3 и n = 5.

Как видно из графиков, при увеличении числа степеней свободы п распределение% приближается к нормальному распределению со средним п и стандартным отклонением л/2й. Если дисперсию можно записать как сумму квадратов п независимых случайных значений испытаний Х1, Х2, Хп, например,

'И = Л (ИХ, 2 - пХ2) = (Х2 + Х2 + ... + Х2) - ^,

п - 1, - = 1 п -1 п -1

то величина 8х2 может иметь деление / 2 ". Поэтому естественно, что распределения х используют в статистических выводах относительно дисперсий (см. 5.4).

Распределение и Стьюдента.  Свойства нормального распределения можно использовать только тогда, когда объем выборки п "достаточно большим" - на это обращает внимание центральная предельная теорема. Однако в реальных условиях объем выборки, как правило, не является "достаточно большим". В этих условиях используют другие распределения. Одним из важнейших считается распределение Стьюдента:

Г '( Х, п) = ^ Г п ^ + Т], (3.65)

где / И (х, п) - функция плотности распределения Стьюдента; п - число степеней свободы Г () - гамма-функция.

На рис. 3.50. показано расчеты распределения Стьюдента для степеней свободы (1, 2 и 8) и для сравнения соответствующие значения нормального распределения.

Для расчета плотности распределения Стьюдента с числом степеней свободы n = 1 необходимо внести:

- в ячейку В2 выражение = ЕХР (ГАММАНЛОГ ((Б $ 1 +1) / 2));

- в ячейку В3 выражение = ЕХР (ГАММАНЛОГ (Б $ 1/2));

- в ячейку В4 выражение = В2/В3/КОРЕНЬ (Б $ 1 * ПИ ());

- в ячейку В7 выражение = В $ 4 * (1 + $ А7л2 / В $ 1) л (- (В $ 1 +1) / 2);

- в ячейки В8: В19 внести аналогичные выражения;

В столбцах С и Б рассчитано значение распределения Стьюдента для числа степеней свободы п = 2 и п = 8. В столбце Е - значение плотности нормального распределения, для чего, например, в ячейку Е7 следует внести выражение = НОРМРАСП (А7, 0, 1, 0).

foto_00014.jpg