Условия научного применения статистических показателей - Часть 19

Система моментов распределения впервые была разработана российским математиком П.Л.Чебишевим.

Общий математическое выражение момента распределения (общего эмпирического момента) имеет вид:

м =И (* -А)" п

"

где м "- момент k-го порядка * <- варианты ряда, - частоты ряда;

к, а - постоянные числа [к-порядок (степень), а - произвольное постоянное число (ложный ноль)].

Следует помнить, что при расчете моментов статистических распределений осредняется к-та степень отклонений значений признака (варианта) Хи от некоторой постоянной величины (А).

В зависимости от того, какая величина принята за условное начало (А), общая система моментов может быть подана подсистемами начальных, центральных и нормированных моментов.

Если условное начало А = о, получают подсистемуначальных моментов.Начальный момент k-го порядка (к-й степени)

выражается формулой:

1.x 'п, М = -

где м "- начальный момент k-го порядка;

Их п - сумма произведений вариант к-й степени на их частоты;

'- Сумма частот.

При к = 0 момент называется начальным моментом нулевого порядка, при к = 1 - начальным моментом 1-го порядка при к = 2-начальным моментом 2-го порядка и т.д.

Расчет величин начальных моментов от нулевого до четвертого порядков представлен схематически таблицы 33.

При А =хполучаем подсистемуцентральных моментов. Центральный момент k-го порядка выражается формулой:

Как видно из приведенной формулы, центральные моменты представляют собой средние из разных степеней отклонений от средней арифметической.

Таблица 33

Расчет подсистемы начальных моментов_

Порядок (степень) к,

Формула

Содержание

0

0Ъп,

1

1

,, Ехьп М, -

х (средняя арифметическая)

2

М2 = -

% 1 (средняя квадратов вариант)

3

3щ

х3 (средняя кубов вариант)

4

х4 (средняя четвертых степеней вариант)

Схема расчета подсистемы центральных моментов от нулевого до четвертого порядков приведена в таблице 34.

Вычисление центральных моментов могут быть значительно упрощены, если знать свойства этой подсистемы моментов. Рассмотрим их.

foto_00057.jpg