Погрешность

Как видно из рис. 6.1, с вероятностью 0,683 предельная ошибка не выйдет за пределы стандартной Выборочные оценки среднего и доли, с вероятностью 0,954 она не превысит Выборочные оценки среднего и доли2m, с вероятностью 0,997 - Выборочные оценки среднего и доли3m. На практике чаще всего используют вероятностью 0,954 (на рис. 6.1 незаштрихованными часть плоскости).

Выборочные оценки среднего и доли

Рис. 6.1. Соотношение вероятностей и ширины доверительных границ

С учетом сказанного формулы предельных погрешностей средней и доли записывают так:

Повторная выборка

Безповторна выборка

для средней

Выборочные оценки среднего и доли 

Выборочные оценки среднего и доли

для доли

Выборочные оценки среднего и доли 

Выборочные оценки среднего и доли

Как видно из формул, размер предельной погрешности зависит от вариации признака Выборочные оценки среднего и доли, объема выборки n и ее доли в генеральной совокупности Выборочные оценки среднего и доли, взятого уровня вероятности, которому соответствует квантиль t. Чем больше вариация признака в генеральной совокупности, тем больше в среднем погрешность выборки. Зависимость погрешности от объема выборочной совокупности обратно пропорциональная. Чтобы уменьшить погрешность выборки вдвое, объем последней должна вырасти в 4 раза. При безповторному выборе погрешность будет тем меньше, чем больше доля обследованной совокупности Выборочные оценки среднего и доли. Очевидно, при сплошном наблюдении ошибка репрезентативности отсутствует (Выборочные оценки среднего и доли= 0).

При малых выборках (n <30) распределение отклонений между параметрами выборочной и генеральной совокупности зависит от объема выборки, а потому в расчетах стандартных погрешностей выборки используют выборочные оценки дисперсий Выборочные оценки среднего и доли. Квантили t определяют по распределению вероятностей Стьюдента. В табл. 6.4 приведены значения квантилей t распределения Стьюдента для вероятности 0,95 и числа степеней свободы k = n - 1. При n > 30 квантили распределения Стьюдента и нормального распределения совпадают.

Рассмотрим методику выборочного оценивания среднего и доли на примере обследования профессиональной мобильности рабочих машиностроительного предприятия. Результаты 19%-й безповторнои выборки приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Возраст и потенциальная профессиональная мобильность рабочих

Показатель

Станочники

Отладчик

Опрошено рабочих

64

25

Средний возраст опрошенных, лет

37

33

Дисперсия возраста

144

100

Доля профессионально мобильных рабочих,%

30

20

Определим границы среднего возраста рабочих и доли профессионально мобильных, то есть тех, что намерены сменить профессию, с вероятностью 0,954 (t = 2).

Предельная погрешность среднего возраста рабочих-станочников

Выборочные оценки среднего и доли года.

Это дает основание утверждать, что в генеральной совокупности в 95,4 случаях из 100 средний возраст станочников менее 34,3 года и не превышает 39,7 года:

Выборочные оценки среднего и доли.

Прежде чем определить предельную погрешность доли потенциально мобильных станочников, необходимо вычислить ее дисперсию:

Выборочные оценки среднего и доли= 0,3 (1 - 0,3) = 0,21.

Предельная погрешность

Выборочные оценки среднего и доли, или 10,3%.

По интервала возможных значений доли профессионально мобильных станочников в генеральной совокупности, то границы его составляют 19,7 и 40,3%:

Выборочные оценки среднего и доли.

Аналогично вычислены предельные погрешности среднего возраста и профессиональной мобильности отладчик несколько больше:Выборочные оценки среднего и доли= 3,6 года, Выборочные оценки среднего и доли= 14,4%. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности средний возраст отладчик не превышает 36,3 года, а верхний предел доли профессионально мобильных рабочих составляет 24,4%.

В статистическом анализе часто возникает необходимость сравнить погрешности выборки различных признаков или одного и того же признака в разных совокупностях.

Такие сравнения выполняют с помощью относительной погрешности, которая показывает, на сколько процентов выборочная оценка может отклоняться от параметра генеральной совокупности. Относительная стандартная ошибка среднего - это коэффициент вариации выборочных средних:

Выборочные оценки среднего и долиВыборочные оценки среднего и доли.

Ее размер можно определить также на основе коэффициента вариации признака Выборочные оценки среднего и доли:

для повторной выборки

Выборочные оценки среднего и доли;

для безповторнои выборки

Выборочные оценки среднего и доли.

На практике распространена предельная относительная погрешность средней, которая учитывает вероятность статистического вывода. Так, для вероятности 0,954 относительная предельная ошибка среднего возраста станочников

Выборочные оценки среднего и доли.

Такой же результат дает расчет относительной погрешности на основе коэффициента вариации возраста станочников:

foto_00068.jpg