Закон больших чисел - Часть 3

Результаты опытов Кетле

Закон больших чисел

Из таблицы. 3.7 видно, как с увеличением числа испытаний соотношение белых и черных шаров приближается к единице.

т

Закон больших чисел утверждает, что частота - события А будет сколько за п

угодно близкой к его вероятности р, если число испытаний п неограниченно возрастает. Можно взять сколько угодно малое число является и сравнивать его с разницей между относительной частотой и вероятностью события. Вероятность того, что эта разница превысит число есть, стремиться к нулю при стремлении числа испытаний п до бесконечности:

Итак, частота события и ее вероятность не совпадают, однако разница между ними уменьшается при увеличении числа испытаний. Это значит, что статистические закономерности проявляются только в многократных повторных испытаниях и количество таких испытаний п должна быть значительной.

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли утверждает: если т - количество событий А в п попарно независимых испытаниях, а р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то при любом есть> 0 справедливо неравенство

Эта формула является первым в истории вариантом закона больших чисел и по сути считается началом теории вероятностей как области математической науки. Времени теории выборочного метода становятся основой математической статистики.

Теорема Бернулли дает возможность оценить количество независимых испытаний п при определенных условиях их проведения.

Пример 3.16. Вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст зачет, равна 90%. Сколько надо проверить студентов, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов. Погрешность при этом не должна превышать 10%.

Решение:

Закон больших чисел

Закон больших чисел

Определим соответствующие теоремы Бернулли обозначения:

р = 0,90 - вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст зачет;

е = 0,10 - погрешность процедуры проверки студентов;

ре OL - p > O, 101 = 0,80 - вероятность обнаружения подготовленных студентов.

И п J

Значение вероятности не превышая погрешность в 10% процедуры проверки студентов составляет

р | L - p <0, й | = 1 - 0,80 = 0,20.

foto_00049.jpg