Закон больших чисел - Часть 4

При этом должно выполняться неравенство правой части выражения (3.40)

p^ <0,20.

пьет

Отсюда количество студентов, которых надо проверить, определится как

p (1 - p) 0,90 o (1 - 0,90) 0,90 o 0,10 0,20-является1 0,20 o (0,10) 2 0,20 o 0,01

Ответ: для того, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов с погрешностью не выше 10%, надо проверить более 45 человек.

Одним из принципиальных вопросов математической статистики является характер соотношения параметра есть и количества независимых испытаниях п. Ответ на этот вопрос также дает закон больших чисел.

Пример 3.17. Для условий примера 3.16 оценить соотношение количества независимых испытаний п и параметра является для трех значений есть (0,1 0,05 0,01).

Решение:

Результаты и формулы расчета п согласно теореме Бернулли (3.40) для различных значений является представлены в табличной форме на рис. 3.29.

Как видно из рис. 3.29 (см. столбцы D и E), при уменьшении параметра е количество необходимых независимых испытаний п растет пропорционально е2.

Закон больших чисел

Рис. 3.29. Результаты и формулы расчета n для различных является

Ответ: чем жесткие условия являются по уменьшению разницы между эмпирической частотой события и его теоретической вероятностью, тем большего количества испытаний требуют такие опыты.

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева гласит: если случайные величины Х, Х2, Xn попарно независимы и существует число C такое, что D [Xi <C для всех / '= 1, 2, n, то для любого является> 0 справедливо неравенство

Г x и + x2 + ... + Xn _м [X и + m [x2 + ... + m [Xn1 С_ (341)

[Nn J ne1

Неравенство (3.41) можно представить иначе

lim p {- ± X, - ± M [X, <Есть} = 1. (3.42)

Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных 1 n

величин - X Xi отличается от среднего арифметического математических 1 n

надежд - X M [Xi менее чем на есть, приближается к 1 при росте числа

n ¿= 1

случайных величин, для любого есть.

Теорема Чебышева является развитием и обобщением теоремы Бернулли Для практических целей часто используется такой вариант испытаний, когда все X имеют одинаковые показатели математического ожидания МХИ = М и дисперсии DPA ^ D.

foto_00014.jpg