Закон больших чисел - Часть 5

Тогда в качестве оценки математического ожидания используется выборочное среднее арифметическое

Закон больших чисел

Формула (3.44) означает, что выборочное среднее x при увеличении числа испытаний (опытов, наблюдений, измерений) сколь угодно близко по вероятности приближается к своему математическому ожиданию M [ X ]

x М [X]. (3.45)

Итак, выражение (3.45) является доказательством того, что выборочное среднее x способную оценке своего аналога из генеральной совокупности. На этом важном выводу построено статистическое оценивание (см. раздел 4).

Пример 3.18. Оценить вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значение не более чем на три стандартных отклонения.

Решение:

Определим соответствующие теоремы Чебышева обозначения: x и М [x] - среднее арифметическое величины x и математическое ожидание среднего арифметического случайной величины x;

Ж> [ x ] И В [x ] - Стандартное отклонение и дисперсия среднего арифметического случайной величины x;

е = 3 o SD [X ] - Критерий отклонения разницы х - М [X] |;

рх - М [X] | <есть} - вероятность события, которое нужно оценить из условий задачи.

По теореме Чебышева имеем рх - М [X ] |> Г | < ^ Х .

С учетом выражения SD [X] = и значение е = 3 o SD [X] права время-

тина равно

D [X] D [X] D [X] 1 и--и) 1

-1 - = -, - == - = -, - = _-= -, т.е. э - M [X |> есть <-

е2 (3 o SD [X]) 9 февраля o D [X] 9 * 1 '9

Из теоремы Чебышева можно записать

рх - <Г?) = 1 - рх - M [X]> есть) <-9.

Тогда вероятность события, которое нужно оценить, определится через неравенство рх - <Г}> 1 - 9 = 8 * 0,8917.

Ответ: вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значение не более чем в три стандартных отклонения, составляет примерно 0,89 или около 89%.

Из теорем Бернулли и Чебышева как из конкретных форм закона больших чисел следует тот факт, что выборочные характеристики при возрастании числа испытаний приближаются к теоретическим, что дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по эмпирическим данным.

foto_00055.jpg