Закон больших чисел - Часть 6

Центральная предельная теорема

Рассмотрим два варианта центральной предельной теоремы.

1. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых-теорема Линдеберга-Леви.

Для независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2, X,, с математическими ожиданиями НРУ;] = Ц и дисперсиями D [X1] = а2 (и = 1, 2,

17 Определенная оценка иногда является заниженной, например, для нормального распределения она составляет около 0,997 (по так называемым закон трех сигм см.. Раздел 3.4).

Закон больших чисел

U = X 1 + X 2 + ... + Xn -M [ X 1-M [X2-...-M [Xnn, / D [X 1 + D [X, + ... + D [Xn '

С учетом выражений (3.46) и (3.47) случайная величина Un выглядеть как

Un = X 1 + X2 +> + Xn ~ n ". (3.48)

cw n

Для величины Un математическое ожидание M [Un = 0, дисперсия D [Un = 1. Тогда при n-* "для любого числа х существует предел

lim РИ X1 + X 2 +> + Xn ~ <x) = f (x), (3.49)

где Ф (х) - функция стандартного нормального распределения

x

ф (x) = cp (t) dt , (3.50)

где <^ (t) - плотность стандартного нормального распределения

1 -

cp (t) = - = e 2. (3.51)

V27t

n _

Если учитывать, что X1 + X2 + ... + Xn = ^ Xi = nX , то переменную Un воз-

¿= 1

nX - nu X - Эти-

на записать как Un =-т = - =-Vn (3.52)

cw n er

и граница (3.48) принимает более знакомую форма записи

(X-иЛ

lim Р -^ Л / П < x = N (0,1), (3.53)

V и)

где N (0,1) - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице.

В некоторых задачах не всегда выполняется условие существования одинаково распределенных слагаемых. Сущность этих условий состоит в том, что ни один из плагинов не должен быть доминирующим, вклад каждого слагаемого в среднее арифметическое должно быть очень малым по сравнению со всей суммой.

2. Центральная предельная теорема для неодинаково распределенных слагаемых - теорема Ляпунова.

Для независимых неодинаково распределенных случайных величин Х1, Х2, Хп с математическими ожиданиями ЩХЦ = / Г, - и дисперсии £> [Хи] = а, 2 Ф0 (i = 1, 2, п) случайная величины ип будет иметь вид

Закон больших чисел

foto_00033.jpg