Закон больших чисел - Часть 7

пунов переходит в теорему Линдеберга-Леви (3.49).

Смысл центральной предельной теоремы такой: если объем выборки п "достаточно большим", то независимо от формы распределения параметра / г генеральной совокупности выборочное среднее X имеет распределение, близкое к нормального. Итак, оценку генерального среднего / ч за его выборочным значением X можно выполнять на основе нормального распределения. Схема исследования может быть такой:

- выбираем случайным образом п объектов х1, х2, хп из генеральной совокупности (для практических целей п должно быть не менее 30, то есть п> 30);

- 1 п

- рассчитываем выборочное среднее X = - ^ X и;

п ,= 1 '

- выполняем статистическое оценивание и формулируем выводы на основе нормального распределения (См., например, раздел 5.4).

Центральная предельная теорема - это класс теорем теории вероятностей, утверждающих, что сумма большого количества независимых (или слабо зависимых) случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.

Очень важно то, как действуют те причины, из которых состоит совокупный результат измерений или наблюдений: если действуют аддитивно (т.е. путем сложения), то величина x имеет примерно нормальное распределение; если муль-типликативно (Т.е. действия отдельных причин перемножаются), то распределение x близок не до нормального, а к так называемому логарифмически нормального, то есть не x, а имеет приблизительно нормальное распределение. Если же нет оснований утверждать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата, то о распределении случайной величины x ничего определенного сказать нельзя.

Вопросы. Задача.

1. Какие Вы знаете прямые экспериментальные подтверждения того, что частота совершения некоторых событий близка к вероятности.

2. В чем есть проявление действия так называемого закона больших чисел?

3. Прокомментируйте результаты опытов Кетле.

4. Сформулируйте и поясните теорему Бернулли.

5. Сформулируйте и поясните теорему Чебышева. Чем она отличается от теоремы Бернулли?

6. Сформулируйте и поясните центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых (теорема Линдеберга-Леви).

7. Сформулируйте и поясните теорему Ляпунова.

8. Повторите математические процедуры задач примерами 3.16 - 3.18.

foto_00040.jpg