Законы распределения выборочных характеристик - Часть 4

Основные идеи этого открытия были использованы в теории ошибок впервые К. Гауссом (1809, Германия) и А.Лапласом (1812, Франция), которые внесли витчутний теоретический вклад в разработку самого закона. В частности, К. Гаусс в своих разработках исходил из признания наиболее вероятным значением случайной величины-среднюю арифметическую. Общие условия возникновения нормального распределения установил А.М.Ляпунова. Им было доказано, что если исследуемая признак представляет собой результат суммарного воздействия многих факторов, каждый из которых мало связан с большинством остальных, и влияние каждого фактора на конечный результат гораздо перекрывается суммарным воздействием всех остальных факторов, то распределение становится близким к нормальному.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, имеющей плотность:

_ 11 (& #) 2

/ (Х, х, <т) = - ^ е 2ст2

где х - математическое ожидание или средняя величина. Как видно, нормальное распределение определяется двумя параметрами: х и °. Чтобы задать нормальное распределение, достаточно знать математическое ожидание или среднее и среднее квадратическое отклонение. Эти две величины определяют центр группирования и форму

кривой на графике. График функции и (хх, в) называется нормальной кривой (кривая Гаусса) с параметрами х и в (рис. 12).

Кривая нормального распределения имеет точки перегиба при X ± 1. Если представить графически, то междуX = + l и1 = -1 находится 0,683 части всей площади кривой (т.е. 68,3%). В границах X = +2 и X-2. находятся 0,954 площади (95,4%), а между X = +3 и X = - 3 - 0,997 части всей площади распространения (99,7%). На рис. 13 проиллюстрирован характер нормального распределения с одно-, двух-и трисигмовою границами.

При нормальном распределении средняя арифметическая, мода и медиана будут равны между собой. Форма нормальной кривой имеет вид одновершинные симметричной кривой, ветки которой асимптотически приближаются к оси абсцисс. Наибольшая ордината кривой соответствует х = 0. В этой точке на оси абсцисс размещается численное значение признаков, равное средней арифметической, моде и медиане.

foto_00066.jpg