Законы распределения выборочных характеристик - Часть 16

Для характеристики (оценки) различия эмпирических и теоретических частот английским статистиком Карлом Пирсоном (1900) разработан критерий согласованности, так называемый "хи - квадрат". Данный критерий применяется в тех случаях, когда необходимо определить степень отличия фактического распределения частот от теоретического.

Теоретический аспект определения хи - квадрата качестве критерия может быть сведен к следующим соображениям.

Если в выборку из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону (^ ^ Хп), ввести центрированы и нормированы

х - X

"- Oo

величины (в) и суммировать их квадраты, получим значение

2 ■

величины "хи - квадрат" (%) '

^ 2_ (Х1 ~ Х) 2 + (-* 2 ~ Х) 2 +Х3 ~ Х) 2 + (Хп ~ Х) 2 _ £ (Хи ~ Х) 2

аа а а 1 = 1а

В данном случае величина х, которая обусловлена дисперсией ° 2 распределяется по закону:

1

И (X и)= Ии(Ж2) 2 е2,

2-Г (-) 2 февраля

.... Д-).

где и) - число степеней свободы, равное п-1, 2-гамма-функция,

частности Г (п +1) = п.

Как видно из приведенного выше выражения, распределение "хи - квадрат" определяется одним параметром - числом степеней свободы.

Для разных объемов выборки (точнее - значений числа степеней свободы) распределение величины "хи - квадрат" будет асимметричным. При этом, чем меньше выборка, тем сильнее проявляется асимметрия. С увеличением численности выборочной совокупности асимметрия уменьшается и распределение"Хи- Квадрат "переходит в нормальный. Наглядно характер такого изменения иллюстрирует график (рис. 18).

Законы распределения выборочных характеристик

рис. 18. гозподил ("Хи- квадрат "при различных значениях числа степеней свободы

Если принять род эмпирических и теоретических частот соответственно по п-и ПП, вычисления "хи - квадрат" - критерия выразится формулой:

Судя по параметрам формулы, величина критерия Пирсона представляет собой сумму отношений между квадратами разниц эмпирических и теоретических частот к теоретическим частот.

Интегрирование дифференциальной функции распределения (по ее сложности) представляет определенные вычислительные затруднения.

foto_00029.jpg